La division (partie 2/2)

Dans cette partie, nous allons remonter le temps pour revenir à l'époque ou nous ne connaissions encore ni les nombres rationnels ni même les entiers relatifs. Nous n'allons nous occuper que de divisions avec des entiers naturels.



Il y a deux raisons. La première, c'est que l'étude des nombres entiers est très intéressante en elle même (et c'est d'ailleurs toute une branche des mathématiques qu'on appelle l'arithmétique, d'où le titre de la partie). La seconde c'est que la méthode générale pour poser une division n'est qu'un prolongement de ce qu'on va faire pour les nombres entiers. Nous verrons ça à la fin de ce chapitre.

Multiples et diviseurs

Vocabulaire : Si est la multiplication de par un nombre entier, alors est un multiple de . Dans ce cas, est un diviseur de , car la division de par est possible dans les nombres entiers.

Autrement dit, " est un diviseur de " et " est un multiple de " signifient exactement la même chose.

Prenons par exemple la multiplication 3×7 = 21. On peut en déduire quatre choses :

• 21 est un multiple de 3 ;
• 21 est un multiple de 7 ;
• 3 est un diviseur de 21 (car 21÷3 = 7) ;
• 7 est un diviseur de 21 (car 21÷7 = 3).

Autre exemple : le nombre 12 a exactement six diviseurs : 1, 2, 3, 4, 6 et 12. Si vous n'êtes pas convaincus, vous pouvez vérifier : il suffit de contrôler que 12 n'est pas dans d'autres tables de multiplication que celles de ces six nombres.

Voici quelques propriétés des diviseurs et des multiples :

• Le nombre 1 est un diviseur de tous les nombres entiers et donc tous les nombres sont des multiples de 1 : .
• Tous les nombres entiers sont à la fois leur propre diviseur et leurs propre multiple : toujours car .
• Les diviseurs d'un nombre sont tous plus petits que lui.
• À part 0, tous les multiples d'un nombre sont plus grands que lui.

Remarquez que tous les nombres ont une infinité de multiples. Par exemple, les premiers multiples de 3 sont : 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42... En revanche, ils n'ont qu'un nombre fini de diviseurs.



Il y a une réponse simple : pour savoir si divise , on écrit tous les multiples de jusqu'à et on regarde si en fait partie.

Seulement voilà, cette méthode marche à merveille pour des petits nombres, mais un peu moins bien pour les grands nombres. Imaginez si je vous demande : est-ce que 147 divise 31711 ? Il faut écrire les multiples de de 147 jusqu'à ce qu'on ait dépassé 31711.

Bien sûr, ça marche, c'est tout à fait possible d'écrire tous les multiples de 147 jusqu'à 31711, mais il faut avouer que c'est quand même un peu long !

Pour trouver une meilleure méthode, rien de tel qu'un peu de réflexion accompagnée de quelques petits schémas. Regardons à quoi ressemblent les multiples des nombres de 1 à 7 :

Multiples de 1
Multiples de 2
Multiples de 3
Multiples de 4
Multiples de 5
Multiples de 6
Multiples de 7

Maintenant, réfléchissons un peu. (Ça ne fait jamais de mal !)

Les multiples d'un nombre sont régulièrement espacés. Si on prend l'exemple des multiples de 5, ils vont de 5 en 5 en partant de 0. On a alternativement : un multiple de 5, quatre pas multiples de 5, un multiple de 5, quatre pas multiples de 5, un multiple de 5...

Si on additionne deux multiples de 5, alors on obtient à nouveau un multiple de 5. Et si on additione un multiple de 5 à un nombre qui n'est pas multiple de 5, alors on obtient un nombre qui n'est pas multiple de 5.

En résumé :

Et bien entendu, cela marche aussi avec les soustractions :



Voilà pour les multiples de 5. Ça marche évidemment pareil avec les multiples des autres nombres !



Comme d'habitude prenons un exemple : 841 est-il un multiple 7 ?

On sait désormais que si 841 est un multiple 7, alors ça ne change pas si on lui ajoute ou si on lui enlève un autre multiple de 7. Or 700 est évidemment un multiple de 7 car égal à 7×100. Donc on peut enlever 700 : 841-700 = 141. On peut également repérer que 140 est un multiple de 7, car 7×2 = 14 donc 140 = 7×20. Et hop, on enlève 140 : 141-140 = 1 !

La question est désormais : 1 est-il un multiple de 7 ? Et là, la réponse est évidemment non ! (Les premiers multiples de 7 sont 0, 7, 14, 21... et 1 n'en fait pas partie.)

Conclusion : 841 n'est pas un multiple de 7.

Whaou ! C'est nettement plus rapide comme ça ! Vous imaginez le temps que ça nous aurait pris si on avait écrit tous les multiples de 7 jusqu'à 811 !

Au lieu d'écrire tous les multiples, on réduit le nombre en enlevant des gros morceaux qui sont des multiples de 7. Ensuite c'est une question d'habitude, plus vous vous entrainerez à chercher si un nombre est un multiple d'un autre, mieux vous y arriverez.

Allez, un deuxième exemple : 1078 est-il multiple de 11 ? J'ajoute 22=2×11, j'obtiens 1100. Or 1100=11×100 est un multiple de 11. Donc 1078 est un multiple de 11. Réponse en 10 secondes chrono !

Multiples particuliers

Pour certains nombres, il existe des astuces pour constater si un nombre est son multiple ou non.

Les multiples de 2

Les multiples de 2 sont les nombres dont le chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8. Si vous n'êtes pas convaincu, écrivez la table de 2 et vous comprenrez vite comment ça marche.

Les multiples de 5

Les multiples de 5 sont les nombres dont le chiffre des unités est 0 ou 5. Là encore, plutôt que d'expliquer avec des phrases, il suffit d'écrire les premiers multiples de 5 pour comprendre comment ça marche : 0, 5, 10, 15, 20, 25...

Les multiples de 10

Encore un cas facile. Les multiples de 10 sont ceux dont le chiffre des unités est 0. Remarquez que 10 = 2×5 donc un multiple de 10 est à la fois multiple de 2 et multiple de 5. D'après les deux points précédents on voit bien que pour qu'un nombre soit à la fois multiple de 2 et de 5, il doit se terminer par 0.

Les multiples de 20, de 50, de 100

Un nombre est multiple de 20 si son chiffre des unités est 0 et si son chiffre des dizaines est pair (0, 2, 4, 6 ou 8). Par exemple 34520 est multiple de 20 mais 7690 ne l'est pas.

Un nombre est multiple de 50 si son chiffre des unités est 0 et si son chiffre des dizaines est multiple de 5 (0 ou 5). Par exemple 5500 est multiple de 50 mais pas 6660.

Un nombre est multiple de 100 si son chiffre des unités et son chiffre des dizaines sont tous les deux 0. En quelque sorte, le nombre est deux fois multiple de 10. Par exemple 32100 est un multiple de 100.

Les multiples de 3

Voilà un cas vraiment intéressant ! Il existe une astuce merveilleuse. Pour cela, remarquons que les nombres qui ne sont composés que de 9 sont des multiples de 3 :

• 9 = 3×3
• 99 = 3×33
• 999 = 3×333
• 9999 = 3×3333
• ...

Et ça c'est bien car ces nombres sont faciles à soustraire. Prenons le nombre 11010.

• 11010 = 10000 + 1000 + 10.
• Maintenant, je soustrait 9999 à 10000, je soustrait 999 à 1000 et je soustrait 9 à 10.
• Il reste 1 + 1 + 1 = 3.
• Or 3 est multiple de 3 , donc 11010 est aussi un multiple de 3 !

Vous commencez certainement à comprendre le principe. Voici un autre exemple, le nombre 4714.

• 4714 = 4000 + 700 + 10 + 4.
• À 4000 je soustrait 4 fois 999. Il reste donc 4. (Car dans 4000, il y a 4 fois 1000, je leur enlève chacun un 999 donc il reste 4 fois 1, c'est à dire 4.)
• À 700 j'enlève 7 fois 99, il reste donc 7.
• À 10 j'enlève 9, il reste donc 1.
• Le 4 des unités je n'y touche pas.
• Il me reste donc : 4 + 7 + 1 + 4 = 16.
• 16 n'est pas un multiple de 3 donc 4714 n'en est pas un non plus !

Vous remarquez qu'avec cette méthode, on tranforme un nombre en la somme de ses chiffres. Si au nombre 836543 vous enlevez 8 fois 99999, 3 fois 9999, 6 fois 999, 5 fois 99 et 4 fois 9, il reste 8+3+6+5+4+3 = 29. Comme 29 n'est pas multiple de 3, 836543 n'est pas multiple de 3.

La règle est donc la suivante :

Méthode magique. Un nombre est multiple de 3 si et seulement si la somme de ses chiffres l'est.

Bien sûr, si le nombre est vraiment très grand on peut appliquer la règle plusieurs fois :

• Le nombre 7736465992746524227489956343 est-il multiple de 3 ?
• Je fais la somme de ses chiffres : 7 + 7 + 3 + 6 + 4 + 6 + 5 + 9 + 9 + 2 + 7 + 4 + 6 + 5 + 2 + 4 + 2 + 2 + 7 + 4 + 8 + 9 + 9 + 5 + 6 + 3 + 4 + 3 = 148.
• 148 est-il multiple de 3 : 1 + 4 + 8 = 13.
• 13 est-il multiple de 3 : 1 + 3 = 4. Réponse : Non.
• Conclusion : le nombre 7736465992746524227489956343 n'est pas un multiple de 3 !

Je sais que je me répète, mais franchement c'est épatant comme méthode !

Les multiples de 9

Les nombres composés uniquement de 9 sont aussi des multiples de 9 :

• 9 = 9×1
• 99 = 9×11
• 999 = 9×111
• 9999 = 9×1111
• ...

Donc la méthode précédente marche aussi pour les multiples de 9.

Exemple 1 : 215. On additione ses chiffres : 2 + 1 + 5 = 6. Or 6 n'est pas un multiple de 9 donc 215 non plus. (Par contre 6 est un multiple de 3 donc 215 est aussi multiple de 3).

Exemple 2 : 5931. On additionne les chiffres : 5 + 9 + 3 + 1 = 18. On re-additionne les chiffres : 1 + 8 = 9. Donc 5931 est un multiple de 9 !

Les multiples de 6, de 15, de 30, de 90

• Un nombre est multiple de 6 si il est à la fois multiple de 2 et de 3.
• Un nombre est multiple de 15 si il est à la fois multiple de 3 et de 5.
• Un nombre est multiple de 30 si il est à la fois multiple de 3 et de 10.
• Un nombre est multiple de 90 si il est à la fois multiple de 9 et de 10.

Depuis la leçon sur les nombres rationnels vous savez qu'avec les entiers naturels, il y a des divisions qui ne sont pas possibles. Dans ce cas, il est alors toujours possible de faire une division euclidienne ou division avec reste.





Prenons un exemple. Vous voulez partager 36 caramels entre 5 personnes. Et pour l'instant vous souhaitez rester dans les entiers naturels, c'est-à-dire ne pas couper vos caramels en petits morceaux. Vous allez donc me dire que ce n'est pas possible car 36 n'est pas un multiple de 5. Eh bien tant, pis il en restera mais on les distribue quand même : chacun reçoit 7 caramels et il en restera 1 en rab qui ne sera pas distribué. Voilà ce que c'est, une division euclidienne.



En général, on écrit ça sous la forme suivante :



Ça vous rappelle quelque chose, non ? Eh oui, les bonnes vieilles divisions à la main qu'on apprend à l'école ! Il faut lire ça en tournant dans le sens des aiguilles d'une montre et en partant du 36 : 36 divisé par 5 égal 7 et il reste 1.



Vocabulaire :

• le nombre qui est divisé (ici 36) s'appelle le dividende ;
• le nombre par lequel on divise (ici 5) s'appelle le diviseur ;
• le nombre qu'on obient (ici 7) s'appelle le quotient ;
• le nombre qui reste (ici 1) s'appelle le reste.

Schématiquement ça donne ça :



Si on passe à 37, il reste 2 :



Et Cætera.





Et quand on arrive à 40, la division tombe juste. On a 5 nouveaux caramels que l'on peut distribuer. Le quotient monte à 8 et le reste devient 0 :



Vous remarquerez que le reste d'une division par 5 est toujours compris entre 0 et 4. Et plus généralement, le reste d'une division par est toujours compris entre 0 et . (S'il reste plus que , ça veut dire qu'on peut encore faire tenir au moins une fois dans ce qui reste donc la division n'est pas finie.)



Non bien sûr, il existe une méthode.

Cette méthode ressemble beaucoup à ce qu'on a déjà fait plus haut pour savoir si un nombre est un multiple d'un autre. Sauf que cette fois on va se souvenir de combien de fois on a mis le diviseur dans le dividende.

Essayons de faire la division 347÷3 :



Pour l'instant, j'ai juste posé la division mais je n'ai encore rien calculé. Je ne connais ni le quotient ni le reste. Il est clair que dans 347, on peut faire tenir au moins 100 fois le nombre 3. Alors j'écris ceci :



Ce qui signifie : pour l'instant, nous avons fait tenir 100 fois le nombre 3 dans 347 et il reste encore 47 à remplir. Comme on peut encore faire tenir 3 plusieurs fois dans 47, la division euclidienne n'est pas finie ! Bien alors maintenant, on peut encore faire tenir 10 fois le nombre 3 dans le reste :



On approche du but : On a déjà mis 100+10 = 110 fois le nombre 3 dans 347 et il ne reste plus que 17 à remplir. Dans 17, on peut encore faire tenir 5 fois le nombre 3 :



Le reste est plus petit que 3. La division euclidienne est donc finie : Conclusion : 3 tient 115 fois dans 347 et il reste 2. En effaçant les calculs intermédiaires ça donne ceci :





Oui, elle marche à tous les coups, mais ce n'est pas toujours facile de trouver quel multiple du diviseur enlever. Si on considère la division suivante :



On ne sait pas forcément très bien comment commencer. Quand vous vous trouvez face à une division qui ne vous inspire pas, je vous conseille d'écrire dans un coin de votre feuille la table de multiplication du diviseur. Dans notre cas, il s'agit de 13. Voici sa table :



On voit alors bien que 13 tiens 40 fois dans 609 (40×13 = 520) mais pas 50 fois (50×13 = 650). On a donc déjà les dizaines.



Là ce n'est pas trop dur de faire la soustraction de tête pour trouver le reste : 609-520 = 89. Mais si la soustraction est plus désagréable ou si vous avez un doute, n'hésitez pas à la poser calmement dans un coin de papier.

Puis 13 tient 6 fois dans 89 mais pas 7 fois. D'où le résultat :



Et la division est finie : 609÷13 égal 46 et il reste 11.

Je m'arrête sur ce deuxième exemple. Si vous avez compris la méthode, c'est l'essentiel. Ensuite c'est une question d'entraînement et de pratique.

Il est temps de laisser les divisions euclidiennes pour revenir aux vraies divisions.

J'ai une bonne nouvelle. Vous savez déjà presque tout ce qu'il faut savoir pour faire des divisions dans le cas général. Ça marche de la même façon qu'une division euclidienne.

Vous ne me croyez pas ? Alors je vous le prouve avec un exemple. Divisons 34,8 par 7,1 :



Comme je ne connais pas ma table de 7,1 par cœur je l'écris dans un coin :

1	2	3	4	5	6	7	8	9
7,1	14,2	21,3	28,4	35,5	42,6	49,7	56,8	63,9

Et hop, on voit tout de suite que 7,1 tient 4 fois dans 34,8 mais pas 5 fois.



Combien reste-t-il ? Il suffit de faire une petite soustraction : 34,8-28,4 = 6,4.



Et mine de rien on a déjà fait une bonne partie du boulot puisqu'on a trouvé la partie entière du résultat ! Le reste 6,4 est plus petit que 7,1 donc 7,1 y tient moins que une fois. Autrement dit, il n'y a plus qu'à chercher les chiffres après la virgule.

Allez, je mets la virgule :



Et maintenant réfléchissons un peu. (Oui, encore ! Je sais que je vous fais beaucoup réfléchir dans ce chapitre. )



Pour y répondre, on utilise une astuce. Voici le raisonnement étape par étape :

• on multiplie 6,4 par 10 : on trouve 64 ;
• combien de fois 7,1 tient-il dans 64 ? Réponse : 9 fois (grâce à la table de multiplication ci-dessus) ;
• mais 7,1 tient 10 fois moins dans 6,4 que dans 64 ;
• Conclusion : 7,1 tient 9 dixièmes de fois dans 6,4. C'est à dire 0,9 fois.

Voilà l'astuce ! On multiplie le reste par 10 pour obtenir le premier chiffre après la virgule. On obtient donc :





Bonne question ! Je n'ai pas encore écrit le reste. Quand on a dit que 7,1 tient 9 fois dans 64, il reste 0,1 car 7,1×9=63,9. Donc il reste 0,1 :



Mais attention, quand on est passé de 6,4 à 64, on a multiplié les reste par 10. Ce reste là est encore multiplié par 10. Autrement dit, il nous reste en réalité 0,01 à remplir, c'est à dire 0,1 dixièmes.

Pour trouver le chiffre des centièmes, on multiplie encore le reste par 10 :



Combien de fois 7,1 tient-il dans 1 ? La réponse est 0, donc il n'y a pas de centièmes, le chiffre des centièmes est 0 :



Qu'à cela ne tienne, puisqu'il n'y a pas de centièmes remultiplions le reste par 10 pour voir s'il y a des millièmes :



7,1 tient une fois dans 10 et il reste 2,9. Le chiffre des millièmes est 1 :



Bon allez, je m'arrête là. Mais si vous voulez vous entraîner vous pouvez continuer. Tout dépend du nombre de chiffres après la virgule que vous voulez. C'est une question de précision.

Il est possible que la division tombe juste au bout d'un moment, c'est à dire que le reste soit 0. Dans ce cas, c'est super, on a fini la division !! Mais il est aussi possible que le résultat ait un nombre infini de chiffres après la virgule dans ce cas, il faut savoir s'arrêter à un moment, sinon vous risquez d'y passer beaucoup de temps !

Voilà, vous savez presque tout ! Juste une chose encore, dans le chapitre sur les nombres rationnels de la première partie je vous ai annoncé que quand on divise deux nombres entiers, ses chiffres après la virgule forment un cycle (Par exemple, 7/33 = 0,21 21 21 21 21...), mais je ne vous avais pas expliqué pourquoi.

Chose promise chose due, voici l'explication.

Quand on fait une division euclidienne par un nombre entier , le reste est plus petit que . (Sinon, la division n'est pas finie.) Si on prolonge la division euclidienne pour trouver le chiffre des dixièmes, le reste est toujours plus petit que . On passe au chiffre des centièmes et encore une fois il reste un nombre plus petit que . Et ainsi de suite. À chaque fois qu'on rajoute un chiffre après la virgule on trouve un reste plus petit que .

Mais des nombres entiers naturels plus petit que il n'y en a pas une infinité ! Il y en a : 0, 1, 2, 3, ..., . Donc forcément au bout d'un certain temps on fini par retomber sur un reste qu'on a déjà vu. Plus précisément, au moins avant le ^ème chiffre après la virgule, on va retrouver un reste qu'on a déjà vu.

Et à partir de là, les calculs se répètent ! Les chiffres après la virgule se mettent à tourner en rond. Je vous sens dubitatifs. Alors prenons un exemple : la division 14÷11.

La division euclidenne se fait très facilement. 11 tient une fois dans 14 et il reste 3 :



On multiplie le reste par 10 pour trouver le premier chiffre après la virgule :



On remultiplie le reste par 10 et on trouve le deuxième chiffre après la virgule :



Et hop ! Le reste est 3 et on sait déjà ce qui se passe quand on a un reste de 3 puisque c'est c'est déjà arrivé deux étapes auparavant : le prochain chiffre après la virgule est 2 et il reste 8. Puis il y aura un 7 et il restera à nouveau 3. Et ainsi de suite.



Ça tourne, ça tourne. On pourrait continuer longtemps comme ça. Par conséquent 14÷11 = 1,27272727...

Si vous avez encore quelques doutes, prenez d'autres divisions et vous comprendrez rapidement comment ça marche. (Petit conseil : Prenez des diviseurs pas trop grands pour que les cycles soient rapides. La longueur du cycle est au maximum égal au diviseur.)

Et les cycles font des fractions ?

Réjouissez-vous, la réponse est oui ! Et nous allons tout de suite voir pourquoi. Prenons un nombre au hasard dont les chiffres après la virgule forment un cycle. Par exemple 0,2473247324732473...

Pour trouver sa forme fractionnaire il va falloir être malin. Mais commençons par lui donner un nom à notre nombre, par exemple. Maintenant, multiplions-le par 10000 :



Mais ce dernier nombre, c'est toujours ! Si vous avez bonne mémoire vous vous rappelerez qu'on a déjà fait un raisonnement similaire dans le chapitre sur 0,999...

Bref on a :

Maintenant soustrayons de chaque côté :

autrement dit:

Et on en déduit que , car la division est l'inverse de la multiplication. On a gagné ! s'écrit bien sous la forme d'une fraction.

Bien entendu, le même raisonnement fonctionne aussi si les chiffres qui cyclent ne sont pas 2, 4, 7 et 3 ! On trouvera par exemple que :

• ;
• ;
• .

Tous les nombres qui forment des cycles sont des nombres rationnels !